Задачник «Кванта» по математике

Переставим числа в каждой строке в порядке возрастания. 97. В трапеции ABCD с основаниями AB = a и CD = b проведён отрезок A1B1, соединяющий середины диагоналей. 19. В бесконечной цепочке нервных клеток каждая может находиться в одном из двух состояний: «покой» и «возбуждение».


В стране ровно 20 000 000 избирателей, один процент которых (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. На другом рисунке плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников.

В пункте а) количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). Без этого требования задача гораздо проще и менее интересна, чем с ним. Решите её в обеих формулировках! Докажите неравенство m³n. В каких случаях возможно равенство? Выигрывает тот, у кого в конце игры — после того, как все спички будут разобраны,— окажется чётное число спичек. 18.а) Для любой точки М описанной около правильного треугольника АВС окружности длина одного из отрезков МА, МВи МС равна сумме длин двух других.

Если в данный момент клетка возбудилась, то она посылает сигнал, который через единицу времени (скажем, через одну миллисекунду) доходит до обеих соседних с ней клеток. Например, если в начальной момент времени возбудить три соседние клетки, а остальные оставить в покое, то возбуждение будет распространяться так, как показано на рисунке.

Что будет в том случае, если цепочка не бесконечная, а состоит из N клеток, соединённых в окружность,— будет ли возбуждение поддерживаться бесконечно долго или затухнет?

Задачник «Кванта» по математике

25. В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2n – 1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Как изменится ответ, если радиус этой монеты в k раз больше радиуса каждой из монет цепочки? 37*. В каждую клетку бесконечного листа клетчатой бумаги вписано некоторое число так, что сумма чисел в любом квадрате, стороны которого идут по линиям сетки, по модулю не превосходит единицы.

42. Цифры некоторого семнадцатизначного числа записали в обратном порядке. В результате треугольник разбит на n2 треугольничков. Каково наибольшее возможное количество треугольничков в цепочке, в которой ни один треугольничек не появляется дважды и каждый последующий имеет общую сторону с предыдущим?

Докажите, что если заменить 14 на 15, то таких чисел несколько, а если на 17 — ни одного

50*. Вершины правильного n-угольника покрашены несколькими красками (каждая — одной краской) так, что точки одного и того же цвета служат вершинами правильного многоугольника. Докажите, что хотя бы один из десяти таких треугольников остроугольный. 54. Два конгруэнтных прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках.

58. На плоскости даны три прямые, пересекающиеся в одной точке. На одной из них отмечена точка. Прямые — биссектрисы некоторого треугольника, а отмеченная точка — одна из его вершин. 63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток?

55. Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом

В цепочке точек, показанных на рисунке, каждые две соседние точки являются противоположными вершинами тёмной клетки. Докажите, что все точки такой бесконечной цепочки лежат на одной параболе (поэтому рисунок словно соткан из светлых и тёмных парабол). Сформулируйте и докажите аналогичную теорему в пространстве. 71.а) Прямоугольная таблица из m строк и n столбцов заполнена числами. Если разрезать два ребра, то для любых вершин Аи В многогранника существует соединяющая их ломаная, идущая по оставшимся рёбрам.

80. В прямоугольной таблице расставлены произвольные числа. Разрешено одновременно изменить знак у всех чисел какого-то одного столбца или у всех чисел какой-то одной строки. Докажите, что, повторив такую операцию несколько раз, можно получить таблицу, у которой неотрицательна как сумма чисел любого столбца, так и сумма чисел любой строки. 83*. Числа первых n натуральных чисел ни при каком n > 1 нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

91. Двое играют в «крестики-нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Второй игрок каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик.

Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов. 94*. Если в каждой вершине выпуклого многогранника сходятся не менее чем четыре ребра, то хотя бы одна из его граней — треугольник. В пункте б) второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами. 8. Двое играют в такую игру. Из кучки, где имеется 25 спичек, каждый берёт себе по очереди одну, две или три спички.

Смотри также:

Запись опубликована в рубрике Без рубрики с метками . Добавьте в закладки постоянную ссылку.